Название: Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3-х частяхАвтор: А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть
Издательство: Минск: "Вышэйшая школа"
Год: 1991
Формат: djvu
Страниц: 287
Размер: 1,7 Mb
Язык: Русский
Книга является составной частью комплекса учебных пособий по курсу высшей математики, направленных на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов вузов. Содержатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных и индивидуальных заданий по рядам, кратным и криволинейным интегралам и элементам теории поля.
Содержание
ЧАСТЬ 1.
Предисловие 3
Методические рекомендации 5
1. Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений 9
1.1. Определители и их свойства. Вычисление определителей 9
1.2. Матрицы и операции иад ними 15
1.3. Обратные матрицы. Элементарные преобразования. Ранг матрицы. Теорема Кронекера — Капелли 20
1.4. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 27
1.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 1 32
1.6. Дополнительные задачи к гл. I 52
2. Векторная алгебра 57
2.1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора 57
2.2. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение векторов и его приложения 61
2.3. Векторное и смешанное произведения векторов и их приложения 64
2.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 2 67
2.5. Дополнительные задачи к гл. 2 84
3. Плоскости и прямые 88
3.1. Плоскость 88
3.2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость 90
3.3. Прямая на плоскости 94
3.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 3 97
3.5. Дополнительные задачи к гл. 3 112
4. Линии и поверхности 115
4.1. Линии второго порядка 115
4.2. Поверхности второго порядка 121
4.3. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями . 125
4.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 4 131
4.5. Дополнительные задачи к гл. 4 146
5. Функции. Пределы. Непрерывность функций 149
5.1. Числовые множества. Определение и способы задания функции 149
5.2. Пределы последовательностей и функций. Раскрытие простейших неопределенностей 151
5.3. Замечательные пределы 154
5.4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций 155
5.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 5 158
5.6. Дополнительные задачи к гл. 5 174
6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения 176
6.1. Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила и формулы дифференцирования 176
6.2. Логарифмическое дифференцирование 180
6.3. Производные высших порядков 181
6.4. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения 184
6.5. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя — Бернулли 187
6.6. Исследование поведения функций и их графиков 190
6.7. Схема полного исследования функции и построение ее графика 195
6.8. Практические задачи на экстремум 198
6.9. Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии 200
6.10. Индивидуальные домашние задания к гл. 6 205
6.11. Дополнительные задачи к гл. 6 248
Приложения 252
Рекомендуемая литература 267
ЧАСТЬ 2.
Предисловие 3
Методические рекомендации 5
7. Комплексные числа и действия над ними
7.1. Основные понятия. Операции над комплексными числами 9
7.2. Дополнительные задачи к гл. 7 13
8. Неопределенный интеграл
8.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл ... 14
8.2. Непосредственное интегрирование функций 17
8.3. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 20
8.4. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) ... 24
8.5. Интегрирование по частям 28
8.6. Интегрирование рациональных функций 30
8.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций 36
8.8. Интегрирование тригонометрических выражений 40
8.9. Индивидуальные домашние задания к гл. 8 43
8.10. Дополнительные задачи к гл. 8 136
9. Определенный интеграл
9.1. Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов 137
9.2. Несобственные интегралы 143
9.3. Приложение определенных интегралов к задачам геометрии 149
9.4. Приложение определенных интегралов к решению физических задач 159
9.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 9 164
9.6. Дополнительные задачи к гл. 9 206
10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
10.1. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные 208
10.2. Полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций 212
10.3. Частные производные высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 216
10.4. Экстремум функции двух переменных 219
10.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 10 222
10.6. Дополнительные задачи к гл. 10 240
11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
11.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Метод изоклин 243
11.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения 247
11.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 252
11.4. Уравнения в полных дифференциалах 256
11.5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 259
11.6. Линейные дифференциальные уравнения второго н высших порядков 264
11.7. Системы дифференциальных уравнений 278
11.8. Индивидуальные домашние задания к гл. 11 290
11.9. Дополнительные задачи к гл. 11 338
Приложения 340
Рекомендуемая литература 349
ЧАСТЬ 3
Предисловие 3
Методические рекомендации 5
12. Ряды
12.1. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов 9
12.2. Функциональные и степенные ряды 18
12.3. Формулы и ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в смененные ряды 23
12.4. Степенные ряды в приближенных вычислениях 28
12.5. Ряды Фурье 34
12.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 12 44
12.7. Дополнительные задачи к гл. 12 124
13. Кратные интегралы
13.1. Двойные интегралы и их вычисление 126
13.2. Замена переменных в двойном интеграле. Двойные интегралы в полярных координатах 134
13.3. Приложения двойных интегралов 138
13.4. Тройной интеграл и его вычисление 146
13.5. Приложения тройных интегралов 152
13.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 13 157
13.7. Дополнительные задачи к гл. 13 . 186
14. Криволинейные интегралы
14.1. Криволинейные интегралы и их вычисление 189
14.2. Приложения криволинейных интегралов 198
14.3. Индивидуальные домашние задания к гл. 14 203
14.4. Дополнительные задачи к гл. 14 222
15. Элементы теории поля
15.1. Векторная функция скалярного аргумента. Производная по направлению и градиент 224
15.2. Скалярные и векторные ноли 230
15.3. Поверхностные интегралы 233
15.4. Поток векторного ноля через поверхность. Дивергенция векторного поля 241
15.5. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля 245
15.6. Дифференциальные операции второго порядка. Классификация векторных полей 250
15.7. Индивидуальные домашние задания к гл. 15 256
15.8. Дополнительные задачи к гл. 15 278
Приложение 280
Рекомендуемая литература 286
Предисловие 3
Методические рекомендации 5
1. Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений 9
1.1. Определители и их свойства. Вычисление определителей 9
1.2. Матрицы и операции иад ними 15
1.3. Обратные матрицы. Элементарные преобразования. Ранг матрицы. Теорема Кронекера — Капелли 20
1.4. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 27
1.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 1 32
1.6. Дополнительные задачи к гл. I 52
2. Векторная алгебра 57
2.1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора 57
2.2. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение векторов и его приложения 61
2.3. Векторное и смешанное произведения векторов и их приложения 64
2.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 2 67
2.5. Дополнительные задачи к гл. 2 84
3. Плоскости и прямые 88
3.1. Плоскость 88
3.2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость 90
3.3. Прямая на плоскости 94
3.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 3 97
3.5. Дополнительные задачи к гл. 3 112
4. Линии и поверхности 115
4.1. Линии второго порядка 115
4.2. Поверхности второго порядка 121
4.3. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями . 125
4.4. Индивидуальные домашние задания к гл. 4 131
4.5. Дополнительные задачи к гл. 4 146
5. Функции. Пределы. Непрерывность функций 149
5.1. Числовые множества. Определение и способы задания функции 149
5.2. Пределы последовательностей и функций. Раскрытие простейших неопределенностей 151
5.3. Замечательные пределы 154
5.4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций 155
5.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 5 158
5.6. Дополнительные задачи к гл. 5 174
6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения 176
6.1. Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила и формулы дифференцирования 176
6.2. Логарифмическое дифференцирование 180
6.3. Производные высших порядков 181
6.4. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения 184
6.5. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя — Бернулли 187
6.6. Исследование поведения функций и их графиков 190
6.7. Схема полного исследования функции и построение ее графика 195
6.8. Практические задачи на экстремум 198
6.9. Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии 200
6.10. Индивидуальные домашние задания к гл. 6 205
6.11. Дополнительные задачи к гл. 6 248
Приложения 252
Рекомендуемая литература 267
ЧАСТЬ 2.
Предисловие 3
Методические рекомендации 5
7. Комплексные числа и действия над ними
7.1. Основные понятия. Операции над комплексными числами 9
7.2. Дополнительные задачи к гл. 7 13
8. Неопределенный интеграл
8.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл ... 14
8.2. Непосредственное интегрирование функций 17
8.3. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 20
8.4. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) ... 24
8.5. Интегрирование по частям 28
8.6. Интегрирование рациональных функций 30
8.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций 36
8.8. Интегрирование тригонометрических выражений 40
8.9. Индивидуальные домашние задания к гл. 8 43
8.10. Дополнительные задачи к гл. 8 136
9. Определенный интеграл
9.1. Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов 137
9.2. Несобственные интегралы 143
9.3. Приложение определенных интегралов к задачам геометрии 149
9.4. Приложение определенных интегралов к решению физических задач 159
9.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 9 164
9.6. Дополнительные задачи к гл. 9 206
10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
10.1. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные 208
10.2. Полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций 212
10.3. Частные производные высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 216
10.4. Экстремум функции двух переменных 219
10.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 10 222
10.6. Дополнительные задачи к гл. 10 240
11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
11.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Метод изоклин 243
11.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения 247
11.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 252
11.4. Уравнения в полных дифференциалах 256
11.5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 259
11.6. Линейные дифференциальные уравнения второго н высших порядков 264
11.7. Системы дифференциальных уравнений 278
11.8. Индивидуальные домашние задания к гл. 11 290
11.9. Дополнительные задачи к гл. 11 338
Приложения 340
Рекомендуемая литература 349
ЧАСТЬ 3
Предисловие 3
Методические рекомендации 5
12. Ряды
12.1. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов 9
12.2. Функциональные и степенные ряды 18
12.3. Формулы и ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в смененные ряды 23
12.4. Степенные ряды в приближенных вычислениях 28
12.5. Ряды Фурье 34
12.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 12 44
12.7. Дополнительные задачи к гл. 12 124
13. Кратные интегралы
13.1. Двойные интегралы и их вычисление 126
13.2. Замена переменных в двойном интеграле. Двойные интегралы в полярных координатах 134
13.3. Приложения двойных интегралов 138
13.4. Тройной интеграл и его вычисление 146
13.5. Приложения тройных интегралов 152
13.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 13 157
13.7. Дополнительные задачи к гл. 13 . 186
14. Криволинейные интегралы
14.1. Криволинейные интегралы и их вычисление 189
14.2. Приложения криволинейных интегралов 198
14.3. Индивидуальные домашние задания к гл. 14 203
14.4. Дополнительные задачи к гл. 14 222
15. Элементы теории поля
15.1. Векторная функция скалярного аргумента. Производная по направлению и градиент 224
15.2. Скалярные и векторные ноли 230
15.3. Поверхностные интегралы 233
15.4. Поток векторного ноля через поверхность. Дивергенция векторного поля 241
15.5. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля 245
15.6. Дифференциальные операции второго порядка. Классификация векторных полей 250
15.7. Индивидуальные домашние задания к гл. 15 256
15.8. Дополнительные задачи к гл. 15 278
Приложение 280
Рекомендуемая литература 286