Litgu.ru - Литературный Гуру

Часть 1.
Предисловие
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Глава I. Элементы векторной алгебры в пространстве
§ 1. Параллельность прямых, лучей и плоскостей
§ 2. Направленные отрезки
§ 3. Векторы
§ 4. Сложение и вычитание векторов
§ 5. Умножение вектора на число
§ 6. Линейная зависимость векторов
§ 7. Координаты вектора
§ 8. Скалярное произведение векторов
§ 9. Векторные подпространства
§ 10. Применение векторов к решению задач школьного курса геометрии
Глава II. Метод координат на плоскости
§ 11. Аффинная система координат на плоскости. Прямоугольная декартова система координат
§ 12. Деление отрезка в данном отношении
§ 13. Ориентация плоскости
§ 14. Угол между векторами на ориентированной плоскости
§ 15. Формулы преобразования координат
§ 16. Полярные координаты
§ 17. Метод координат на плоскости
§ 18. Алгебраическая линия. Окружность
§ 19. Приложение метода координат к решению задач школьного курса геометрии
Глава III. Прямая линия на плоскости
§ 20. Уравнение прямой
§ 21. Общее уравнение прямой
§ 22. Взаимное расположение двух прямых
§ 23. Расстояние от точки до прямой
§ 24. Угол между двумя прямыми
§ 25. Основные задачи на прямую
§ 26. Приложение к решению задач школьного курса геометрии
Глава IV. Линии второго порядка
§ 27. Эллипс
§ 28. Гипербола
§ 29. Парабола
§ 30. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
§ 31. Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка
§ 32. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления
§ 33. Центр линии второго порядка
§ 34. Касательная к линии второго порядка
§ 35. Диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления
§ 36. Главные направления. Главные диаметры
§ 37. Классификация линий второго порядка
§ 38. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек
Глава V. Преобразования плоскости и их приложения к решению задач
§ 39. Отображение и преобразование множеств
§ 40. Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований
§ 41. Движения плоскости
§ 42. Два вида движений. Аналитическое выражение движения
§ 43. Классификация движений плоскости
§ 44. Группа движений плоскости и ее подгруппы
§ 45. Группа симметрий геометрической фигуры
§ 46. Преобразование подобия
§ 47. Группа подобия и ее подгруппы. Подобие фигур
§ 48. Аффинные преобразования
§ 49. Перспективно-аффинное преобразование
§ 50. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Аффинная эквивалентность фигур
§ 51. Приложение преобразований плоскости к решению задач

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ И КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ И АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВАХ

Глава VI. Метод координат в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов
§ 52. Координаты точек в пространстве. Решение простейших задач в координатах
§ 53. Ориентация пространства
§ 54. Формулы пребразования координат в пространстве
§ 55. Смешанное произведение векторов. Объем тетраэдра
§ 56. Векторное произведение векторов. Площадь треугольника
§ 57. Метод координат в пространстве. Уравнение поверхности
§ 58. Приложение метода координат и векторной алгебры к решению задач стереометрии
Глава VII. Плоскости и прямые в пространстве
§ 59. Уравнение плоскости
§ 60. Общее уравнение плоскости
§ 61. Взаимное расположение двух и трех плоскостей
§ 62. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями
§ 63. Уравнения прямой в пространстве
§ 64. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости
§ 65. Углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью
§ 66. Основные задачи на прямую и плоскость
§ 67. Приложение к решению задач школьного курса геометрии
Глава VIII. Преобразования пространства
§ 68. Движения пространства
§ 69. Два вида движений. Инвариантные точки, прямые и плоскости
§ 70. Классификация движений пространства
§ 71. Преобразование подобия пространства
§ 72. Аффинные преобразования пространства
§ 73. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Групповой подход к геометрии
Глава IX. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям
§ 74. Поверхности второго порядка. Метод сечений
§ 75. Поверхности вращения
§ 76. Цилиндрические поверхности
§ 77. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения
§ 78. Эллипсоид
§ 79. Гиперболоиды
§ 80. Параболоиды
§ 81. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
§ 82. Приложение к решению задач школьного курса геометрии
Глава X. Аффинное и евклидово n-мерные пространства
§ 83. Векторное n-мерное пространство
§ 84. Евклидово векторное «-мерное пространство
§ 85. Аффинное n-мерное пространство
§ 86. k-мерные плоскости
§ 87. Гиперплоскости пространства Аn
§ 88. Аффинные преобразования пространства Аn
§ 89. Евклидово n-мерное пространство
§ 90. Движения и подобия пространства En
Глава XI. Квадратичные формы и квадрики
§ 91. Квадратичные формы
§ 92. Положительно-определенные квадратичные формы
§ 93. Квадрики в аффинном пространстве Аn
§ 94. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду. Понятие о классификации квадрик
§ 95. Квадрики в евклидовом пространстве
Глава XII. Геометрические построения на плоскости
§ 96. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки
§ 97. Взаимное расположение двух окружностей. Построение треугольника по трем сторонам
§ 98. Основные построения. Схема решения задачи на построение
§ 99. Решение задач на построение методом пересечений
§ 100. Применение движений к решению задач на построение
§ 101. Метод подобия
§ 102. Инверсия. Метод инверсии
§ 103. Алгебраический метод
§ 104. Признак разрешимости задач на построение циркулем и линейкой
§ 105. Примеры задач на построение, неразрешимых циркулем и линейкой
§ 106. О решении задач на построение различными средствами

Приложение. Определения и обозначения

Литература

Предметный указатель

Часть 2.

Предисловие

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО. МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Глава 1. Проективное пространство
§ 1. Центральное проектирование. Возникновение проективной геометрии
§ 2. Понятие проективного пространства
§ 3. Координаты точек на проективной плоскости и на проективной прямой
§ 4. Модели проективной плоскости и проективного пространства
§ 5. Преобразование координат точек на плоскости и на прямой
§ 6. Уравнение прямой. Координаты прямой
§ 7. Принцип двойственности
§ 8. Теорема Дезарга
§ 9. Сложное отношение четырех точек прямой
§ 10. Сложное отношение четырех прямых пучка
§ 11. Проективные преобразования плоскости
§ 12. Предмет проективной геометрии. Аналитическое выражение проективных преобразований
Глава II. Основные факты проективной геометрии
§ 13. Полный четырехвершинник. Задачи на построение
§ 14. Проективные отображения прямых и пучков
§ 15. Проективные преобразования прямой. Инволюции
§ 16. Мнимые точки проективной плоскости. Линии второго порядка
§ 17. Проективная классификация линий второго порядка
§ 18. Полюс и поляра
§ 19. Овальная линия второго порядка
§ 20. Задачи на построение, связанные с овальной линией
§ 21. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой
§ 22. Линии второго порядка на проективной плоскости с фиксированной прямой
§ 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения
§ 24. Перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов с проективной точки зрения
§ 25. Приложение проективной геометрии к решению задач школьного курса геометрии
Глава III. Методы изображений
§ 26. Параллельное проектирование. Аффинные отображения
§ 27. Изображение плоских фигур в параллельной проекции
§ 28. Изображение многогранников в параллельной проекции
§ 29. Изображения цилиндра, конуса и шара
§ 30. Аксонометрия
§ 31. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи
§ 32. Построение сечений простейших многогранников
§ 33. Метрические задачи
§ 34. Понятие о методе Монжа

РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ. МНОГОГРАННИКИ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Глава IV. Элементы топологии
§ 35. Метрические пространства
§ 36. Топологические пространства
§ 37. Непрерывность и гомеоморфизм
§ 38. Отделимость. Компактность. Связность
§ 39. Многообразия
§ 40. Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика многообразия
§ 41. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия
§ 42. Понятие о классификации компактных двумерных многообразий
§ 43. Топологические свойства листа Мебиуса и проективной плоскости
Глава V. Многогранники в евклидовом пространстве
§ 44. Геометрическое тело
§ 45. Выпуклые многогранники
§ 46. Правильные многогранники
§ 47. Группы симметрий правильных многогранников
Глава VI. Линии в евклидовом пространстве
§ 48. Векторная функция скалярного аргумента
§ 49. Понятие линии
§ 50. Гладкие линии
§ 51. Касательная. Длина дуги
§ 52. Кривизна и кручение линии
§ 53. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Винтовая линия
Глава VII. Поверхности в евклидовом пространстве
§ 54. Понятие поверхности
§ 55. Гладкие поверхности
§ 56. Касательная плоскость и нормаль
§ 57. Первая квадратичная форма поверхности
§ 58. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма
§ 59. Главные кривизны. Полная и средняя кривизны поверхности
§ 60. Примеры поверхностей постоянной кривизны
Глава VIII. Внутренняя геометрия поверхности
§ 61. Внутренняя геометрия поверхности. Деривационные формулы
§ 62. Теорема Гаусса. Геодезическая кривизна линии на поверхности
§ 63. Изометричные поверхности. Изгибание поверхности
§ 64. Геодезические линии
§ 65. Дефект геодезического треугольника
§ 66. Теорема об эйлеровой характеристике для гладкой поверхности, гомеоморфной сфере с р ручками

РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Глава IX. Исторический обзор обоснования геометрии. Элементы геометрии Лобачевского
§ 67. Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида
§ 68. Критика системы Евклида
§ 69. Пятый постулат Евклида
§ 70. Н. И. Лобачевский и его геометрия
§ 71. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I—II
§ 72. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I—V
§ 73. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому
§ 74. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского
§ 75. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского
§ 76. Окружность, эквидистанта и орицикл 270
Глава X. Общие вопросы аксиоматики. Обоснование евклидовой геометрии
§ 77. Понятие о математической структуре
§ 78. Интерпретации системы аксиом. Изоморфизм структур
§ 79. Непротиворечивость, независимость и полнота Системы аксиом
§ 80. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского
§ 81. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства
§ 82. Луч, угол, отрезок
§ 83. Равенство отрезков и углов. Длина отрезка
§ 84. Аксиоматика А. В. Погорелова школьного курса геометрии
§ 85. Об аксиомах школьного курса геометрии
Глава XI. Длина, площадь и объем
§ 86. Длина отрезка. Теорема существования
§ 87. Измерение отрезков. Теорема единственности
§ 88. Площадь многоугольника в евклидовой геометрии. Теорема существования
§ 89. Теорема единственности. Равновеликие и равносоставленные многоугольники
§ 90. Объем многогранника в евклидовом пространстве (обзор)
Глава XII. Неевклидовы геометрии
§ 91. Гиперболическое пространство
§ 92. Модель Кэли - Клейна плоскости Лобачевского
§ 93. О свойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского
§ 94. Понятие о сферической геометрии
§ 95. Понятие об эллиптической геометрии Римана