Название: Курс аналитической геометрии и линейной алгебры - Александров П.С.Автор: П.С. Александров
Издательство: Наука
Год выпуска: 1979
Жанр: Mатематика студентам
Формат: PDF, DJVU
Страниц: 511
Размер: 25.9 Мб
Язык: Русский
Книга представляет собой учебник по объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры для университетов, Наряду с традиционной тематикой книга содержит основные сведения из многомерной аналитической геометрии, включая аффинную классификацию гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, в книге излагаются простейшие понятия геометрии «-мерного проективного пространства.
Книга рассчитана на студентов-математиков и студентов-физиков университетов и пединститутов, а также на все категории читателей, серьезно интересующихся математикой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие …………………………………………………………..7
Ч А С Т Ь I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ………………..9
Глава I. Простейшие понятия аналитической геометрии …………..9
§ 1. Векторы на плоскости и в пространстве ……………………9
§ 2. Проекции ……………………………………………………14
§ 3. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора
относительно данного базиса ………………………………..18
§4. Координаты на плоскости и в пространстве ………………..23
§5. Прямая линия в плоскости ………………………………….41
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве …………………………55
Глава II. Парабола. Эллипс. Гипербола …………………………….69
§ 1. Парабола ……………………………………………………69
§2. Эллипс ……………………………………………………….72
§ 3. Гипербола ……………………………………………………75
§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы …………………………….80
§ 5. Фокальный параметр. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
в полярных координатах ……………………………………..85
Глава III. Преобразование координат. Движения и аффинные преобразования ……………………………………………………..89
§ 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой … 89
§ 2. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой. 91
§ 3. Ориентация пространства (плоскости) …………………………96
§ 4. Углы Эйлера ………………………………………………..103
§ 5. Определение движения и аффинного преобразования плоскости
и пространства ………………………………………………105
§6. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований ………………………. ….. 107
§ 7. Аналитическое выражение аффинных преобразований …………113
Глава IV. Алгебраические линии и поверхности. Комплексная плоскость и комплексное пространство …………………………..116
§ 1. Определение алгебраических линий и поверхностей …………..116
§ 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании
координат ……………………………………………………119
§ 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей…………..124
§ 4. Комплексная плоскость и комплексное пространство…………126
§ 5. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения…………132
Глава V. Различные виды кривых второго порядка ………………..140
§1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя
неизвестными ………………………………………………..141
§ 2. Инварианты многочлена второй степени ……………………..145
§ 3. Центральный случай …………………………………………150
§4. Параболический случай: дельта = 0 ………………………………153
§ 5. Аффинная классификация кривых второго порядка …………..156
Глава VI- Общая теория кривых второго порядка ………………..160
§ 1. Асимптотические направления кривых второго порядка …. 160
§ 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой неасимптотического направления Касательные ………………………………165
§ 3. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптогического направления. Геометрическая Характеристика асимптотических
и неасимптотических направлений …………………………..167
§ 4. Центр кривой второго порядка ………………………………169
§ 5. Диаметры кривой второго порядка …………………………..172
§ 6. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные ……………………………………………………..174
§ 7. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные
направления ………………………………………………..178
§ 8. Теорема единственности для кривых второго порядка. О полноте
системы ортогональных инвариантов …………………………181
§ 9. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка 186
§ 10. Основная теорема об аффинных преобразованиях…………….192
Глава VII. Краткое описание различных видов поверхностей второго
порядка ……………………………………………………..195
§ 1. Распадающиеся поверхности ………………………………..195
§ 2. Цилиндрические поверхности ………………………………..197
§ 3. Конусы второго порядка ……………………………………..198
§ 4. Эллипсоиды и гиперболоиды ………………………………..201
§ 5. Параболоиды ………………………………………………..209
§6. Прямолинейные образующие ………………………………..212
Глава VIIl. Общая теория поверхностей второго порядка. I ……….218
§ 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени ………………………………………………….218
§ 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью . . . 220
§ 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка …………..222
§ 4. Асимптотические направления, конус асимптотическик направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядка ………………………….226
§ 5. Центр поверхности второго порядка …………………………235
Глава IX. Общая теория поверхностей второго порядка. II ……….240
§ 1. Диаметральные плоскости. Особые направления …………….240
§ 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов . . . 247
§ 3. Сопряженные направления ………………………………….251
§ 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей……….253
§ 5. Теорема единственности ……………………………………..254
§ 6. Главные направления ……………………………………….257
§ 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго
порядка ……………………………………………………..264
§ 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка . , . 275
Глава X. Проективная плоскость. Кривые второго порядка на проективной плоскости …………………
§ 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой … 281
§ 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке 283
§ 3. Координаты прямой, арифметическая проективная плоскость,
общее определение проективной плоскости ………… 288
§ 4. Принцип двойственности для проективной плоскости ….. 292
§ 5. Проективная система координат в связке и на проективной
плоскости …………………. …….. 296
§ 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости ………………..
§7. Кривые второго порядка на проективной плоскости. Теорема
единственности ……………………… 315
§ 8. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные;
асимптоты …………………………
§ 9. Проективная классификация кривых второго порядка….. 325
Ч А С Т Ь II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Глава XI. Линейные пространства ……………………….330
§ 1. Определение линейного пространства ………………….330
§ 2. Размерность. Базис. Координаты…………335
§ 3. Теорема об изоморфизме между любыми двумя линейными пространствами одной и той же размерности . . . …………….338
§ 4. Подпространства линейного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе линейного пространства ………………………………..339
§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств 344
§ 6. Теорема о ранге матрицы ……………………………………346
§ 7. Системы линейных однородных уравнений ………………….349
§ 8. Комплексификация и овеществление …………………………354
Глава ХII. Аффинное n-мерное пространство ………………..3^
§ 1. Определение n-мерного аффинного пространства …………….358
§ 2. Системы координат. Арифметическое аффинное пространство.
Изоморфизм всех n-мерных пространств между собой……….360
§3. r-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства; r-мерные
параллелепипеды …………………………….362
§4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические
коорднматы. Симплексы ……………………………………..366
§ 5. Системы линейных уравнений ………………………………..372
Глава XIII. Линейные отображения ………………………………378
§ 1. Определение и простейшие свойства линейных отображений 378
§ 2. Матрица линейного отображения …………………………….380
§ 3. Действия с линейными операторами …………………………382
§ 4. Ядро и образ линейного оператора …………………………384
$ 5. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора ………………………………………………387
Глава XIV. Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах …………………………………………..395
§ 1. Линейные функции …………………………………………..395
§ 2. Билинейные функции и билинейные формы ……………….400
§ 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису…………………………”^ОЗ
§ 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функции) …………………………………………….40в
§ 5. Существование канонического базиса для всякой квадратичной и всякой билинейной функции (приведение квадратичных форм
к каноническому виду>) ……………………………………..408
§ 6. Нормальный вид квадратичной формы ……………………..412
§7. Закон инерции для вещественных квадратичных форм …. 413
§ 8. Положительно определенные квадратичные функции и формы 414
Глава XV. Каноническая форма линейного оператора ………………419
§ 1. Жорданова форма…………………………………………….419
§ 2. Лямбда-матрицы. Элементарные преобразования Лямбда-матриц…………421
§ 3. Нормальная форма Лямбда-матрицы ………………………………423
§ 4. Теорема о приведении матриц оператора к канонической форме 428
Глава XVI. Евклидовы и унитарные пространства………………..432
§ 1. Положительно определенные эрмитовы функции в линейном
пространстве………………………………………………….432
§ 2. Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие свойства 436
§ 3. Подпространства унитарных и евклидовых пространств. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция …….. . 439
§ 4. Линейные операторы в унитарном пространстве …………….442
§ 5. Структура произвольного линейного оператора в евклидовом
пространстве………………………………………………….447
Глава XVII. Преобразования аффинного пространства…………….450
§ 1. Аффинные преобразования ……………………………………450
§ 2. Движения аффинного евклидова пространства ……… 454
§ 3. Классификация движений ……………………………………457
Глава XVIII. Гиперповерхности второго порядка в n-мерном аффинном
пространстве ………………………………………………..463
§ 1. Общая теория гиперповерхностей второго порядка …………463
§ 2. Классификация гиперповерхностей второго порядка …………471
Глава XIX. Элементы геометрии и-мерного проективного пространства 479
§ 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые …………479
§ 2. Проективные координаты. Проективные преобразования …. 481
§ 3. Гиперповерхности второго порядка в n-мерном проективном
пространстве. Теорема единственности ……………………….486
§ 4. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка 490
§ 5. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго
порядка в трехмерном пространстве…………………495
Предметный указатель………………………………………………..505
Скачать книгу: Курс аналитической геометрии и линейной алгебры - Александров П.С.